Mathe Trigonometrie Sinussatz

Sinussatz

Der Sinussatz ist in jedem beliebigen Dreieck anwendbar, wenn entweder

  • eine Seite und zwei Winkel
  • oder
  • zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind.

Im zweiten Fall muss der Winkel einer der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegen. Sonst benötigt man den Kosinussatz.

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Merke

In jedem beliebigen Dreieck verhalten sich zwei Längen zueinander wie die gegenüberliegenden Sinuswerte.

In unserem Dreieck ABC besagt der Sinussatz:

  • $\frac{a}{b}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

  • $\frac{b}{c}=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}$

  • $\frac{c}{a}=\frac{\sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}$

  • $\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}$

Beispiel

Gegeben ist ein Dreieck mit $a=7$, $c=4$ und $\gamma=30^\circ$. Berechne den Winkel $\alpha$.


  1. Passende Formel raussuchen


    $\frac{a}{c}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}$
  2. Formel umstellen


    $\frac{a}{c}=\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}\quad|\cdot\sin(\gamma)$
    $\sin(\alpha)=\frac{a}{c}\cdot\sin(\gamma)$
  3. Einsetzen und ausrechnen


    $\sin(\alpha)=\frac{7}{4}\cdot\sin(30^\circ)$
    $\alpha=\sin^{-1}(\frac{7}{4}\cdot\sin(30^\circ))\approx61^\circ$