Mathe Trigonometrie Sinus, Kosinus und Tangens

Sinus, Kosinus und Tangens

Mit Sinus, Kosinus und Tangens kann man in jedem rechtwinkligen Dreieck die Ankathete/Gegenkathete eines Winkels oder den Winkel selbst berechnen, wenn zwei der drei Größen bekannt sind.


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Merke

  • Sinus: $\sin=\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Kosinus: $\cos=\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Tangens: $\tan=\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}}$

Wenn man jetzt die Seiten einsetzt, ergibt sich in unserem Dreieck ABC mit $\gamma=90^\circ$:

  • $\sin(\alpha)=\frac{a}{c}$ und $\sin(\beta)=\frac{b}{c}$
  • $\cos(\alpha)=\frac{b}{c}$ und $\cos(\beta)=\frac{a}{c}$
  • $\tan(\alpha)=\frac{a}{b}$ und $\tan(\beta)=\frac{b}{a}$

Beispiel

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit $\beta=90^\circ$, $\alpha=60^\circ$ und $c=4$. Berechne $b$.


  1. Passende Formel raussuchen


    $\cos=\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}$
    $\cos(\alpha)=\frac{c}{b}$
  2. Formel umstellen


    $\cos(\alpha)=\frac{c}{b}\quad|\cdot b$
    $\cos(\alpha)\cdot b=c\quad|:\cos(\alpha)$
    $b=\frac{c}{\cos(\alpha)}$
  3. Einsetzen und ausrechnen


    $b=\frac{4}{\cos(60^\circ)}=8$